Raptor 3の強みの検証
第1回では「Raptorの真価は圧倒的な推重比」と書きましたが、公表されたRaptor 3の質量で計算すると推力重量比は約164で、Falcon 9のMerlin 1D（約184）にはまだ届いていません。Raptorの強みは、燃焼圧が高く、小さな体で大きな推力を出せることと、推進剤を捨てずに燃やし切ることの2つ。これを簡単な計算で検証してみます。
燃焼室の性能（比推力・推力係数など）はNASAのCEAをPythonから使えるRocketCEAで計算し、ポンプとタービンの動力のつり合いと上昇の軌道は管理人の簡易モデルで求めました。
検証の前提
非公表の値は仮定し、基準値に「ありえそうな幅」を付けました。以下、結果は基準値で示し、幅で振ったときの範囲を（ ）で添えます。
| 項目 | 基準値 | 幅 | 根拠 |
|---|---|---|---|
| Raptor 3 燃焼圧 | 330 bar | 320〜340 bar | Wikipedia（350 barは試験での最大値） |
| Raptor 3 推力 | 海面250 tf | － | SpaceX公式 |
| BE-4 燃焼圧・混合比 | 140 bar・3.4 | 134〜140 bar・3.3〜3.5 | Wikipedia／仮定 |
| Merlin 1D 燃焼圧・混合比 | 97 bar・2.36 | 混合比2.3〜2.4 | Wikipedia／一般的な値 |
| ノズル出口圧 | 0.8〜1 bar（比較ごとに統一） | － | 比較条件 |
| ポンプ効率 | 75% | 72〜78% | 仮定 |
| ガス発生器のタービン効率・入口温度 | 45%・900 K | 40〜50%・880〜920 K | 仮定 |
| 二段燃焼のタービン効率 | 75% | 72〜78% | 仮定 |
| 二段燃焼のタービン膨張比（タービン温度の検討） | 1.7 | － | 仮定 |
| ポンプの揚程係数（周速の検討） | 0.5 | － | 仮定 |
| Super Heavyの乾燥質量 | 275 t | 250〜300 t | 仮定（非公表） |
| Ship＋ペイロード（満タン） | 1,850 t | 1,800〜1,900 t | 推進剤1,600 tは公式、他は仮定 |
| 帰還用に残すブースターの推進剤 | 12% | － | 仮定 |
エンジンサイクルの比較
各サイクルの仕組みは第1回で説明したので、ここでは比べる3つのエンジンの違いだけを図で確認します。見るポイントは、タービンを回したガスの行き先と、軸の数です。
① ガス発生器サイクル（Merlin）
タービンを回したガスは船外に捨てます。燃焼圧を上げるほど、捨てる量が増えます。
② 酸化剤リッチ二段燃焼（BE-4）
捨てるガスはありません。プリバーナー1つ・タービン1つで、1本の軸で燃料と酸素の両方のポンプを回します。
③ 全流量二段燃焼（Raptor）
捨てるガスはありません。プリバーナーもターボポンプも燃料側と酸素側の2つに分かれ、燃料も酸素も全量がタービンを通ります。
プリバーナーを2つに分けると、何がうれしいの？
タービンの温度を下げられることと、燃料側と酸素側のポンプを別々の軸で回せることです。1軸の構成で必要になる「燃料と酸素を仕切る軸シール」も要りません。その代わり構造は複雑で、飛行まで実現したのはRaptorが世界で初めてです。軸と温度の話は、このあと計算で確かめます。
燃焼室圧がエンジンサイズに及ぼす影響
推力 \( F \) は、燃焼圧 \( P_c \)、スロート面積 \( A_t \)、推力係数 \( C_F \) を使って次のように書けます。
\[ F = C_F\,P_c\,A_t \]\( C_F \) はノズルの膨張の効率を表す係数で、1.6〜1.9程度とあまり変わりません。つまり同じ推力なら、スロート面積は燃焼圧に反比例して小さくなります。Raptor 3（海面推力250 tf、燃焼圧約330 bar、CEAで計算した \( C_F \approx 1.84 \)）の場合、
\[ A_t = \frac{F}{C_F\,P_c} \] \[ = \frac{2.45\times10^{6}\,\mathrm{N}}{1.84\times 3.30\times10^{7}\,\mathrm{Pa}} \] \[ \approx 0.040\,\mathrm{m^2} \]直径にすると約23 cmの穴から、250トン分の推力が出ている計算です。
同じ計算を3つのエンジンで行い、燃焼室とノズルの形を同じ設計ルール・同じ縮尺で描きました（ターボポンプや配管は含みません）。
Merlin 1Dは海面推力86 tfと、Raptor 3の約3分の1です。それでもスロート直径は26 cmで、Raptor 3より大きくなります。
BE-4の海面推力は249 tfで、Raptor 3とほぼ同じです。ところがスロート直径は36 cm、ノズルの出口直径は1.48 mと、ひと回り大きくなります。
Raptor 3のスロート直径はわずか23 cmです。計算した出口直径1.33 mは公式のエンジン直径1.3 mとほぼ一致していて、簡単な計算の割にはいい線をいっています。
推力100 tfあたりのスロート面積で比べると、BE-4はRaptor 3の約2.5倍（2.4〜2.7倍）、Merlin 1Dは約3.8倍です。
出口圧を大気圧程度にそろえると、ノズル出口面積あたりの推力も燃焼圧とともに上がります。Raptor 3は約180 tf/m²（175〜185）、BE-4は約145 tf/m²（140〜148）です。
エンジン単体の軽さより、「同じ場所にどれだけ推力を詰め込めるか」が大事なんだね。
そうです。Super Heavyの底面は直径9 mと決まっています。そこにBE-4並みの推力密度しか詰め込めないと合計推力は約6,600 tf（6,400〜6,800）、Merlin並みなら約4,700 tfで、そもそも機体が浮き上がりません。
開サイクルの限界
では、ガス発生器サイクルのまま燃焼圧を上げたらどうなるか。同じメタン／液体酸素の条件で、燃焼圧と海面比推力の関係を比べました（ガス発生器側は、ポンプの動力に必要なガスを捨てた実効値）。
ポンプの動力は燃焼圧にほぼ比例するので、捨てるガスは100バールで約2%（1.6〜2.3%）、330バールで約6%（5〜7%）と増えていきます。その結果、比推力は200バールあたりで頭打ちになり、330バールでは二段燃焼より約15秒（13〜18秒）低くなりました。Merlinが100バール前後なのは、ガス発生器サイクルとして理にかなった選択です。
一方の二段燃焼は、燃焼圧を上げた分がそのまま性能になります。ただし全量をタービンに通すので、燃焼圧330バールに対してポンプの出口圧は約700バール（660〜870）。ポンプとタービンの効率がどちらも70%まで下がると、このモデルでは成立しなくなりました。
高い燃焼圧は、効率の高いターボポンプがあって初めて成り立つのね。
メタンエンジンと二軸式ターボポンプ
高い燃焼圧を出すには、ポンプで推進剤を700バール級まで昇圧する必要があります。ここで効いてくるのが、推進剤の密度です。
遠心ポンプが出せる圧力 \( \Delta p \) は、液体の密度 \( \rho \) と羽根車の周速 \( u \) で決まります（\( \psi \) は揚程係数で、ここでは0.5と仮定）。
\[ \Delta p = \psi\,\rho\,u^2 \] \[ u = \sqrt{\frac{\Delta p}{\psi\,\rho}} \]同じ圧力まで昇圧するなら、密度が低い液体ほど、羽根車を速く回す必要があります。
羽根車の周速には材料の強度による上限があり、最先端のチタン合金製でも700〜800 m/sが限界です。液体水素は1段だと約1,400 m/sが必要になるので、羽根車を2段以上に分けることが必須です。スペースシャトルのRS-25の水素ポンプは3段になっています。
ケロシンは密度が液体酸素に近いので、必要な周速は約1.2倍で済みます。だからMerlinやRD-180のようなケロシンエンジンは、酸素ポンプと燃料ポンプを1本の軸に並べても、羽根車の大きさを少し変えるだけで成り立ちます。
ところが液体メタンの密度は液体酸素の約0.37倍しかなく、約1.6倍の周速が必要です。約580 m/sは1段でも届く範囲ですが、限界まで余裕がありません。2段に分ければ1段あたり約410 m/sまで下がるので、実際のRaptorもメタンポンプは2段である可能性が高いです。
それでも1本の軸（同じ回転数）では、メタン側の羽根車を酸素側より大きくするか、さらに段数を増やす必要があります。かといって軸全体の回転数を上げると、今度は酸素ポンプの入口でキャビテーションが起きやすくなります。
二軸式なら、メタン側だけを高回転にして、それぞれのポンプを最適な回転数で回せます。密度が液体酸素の約16分の1しかない液体水素のエンジン（スペースシャトルのRS-25やH-IIのLE-7）が、燃料と酸素でターボポンプを分けているのも同じ理由です。BE-4はメタンで1軸ですが、燃焼圧は約140バールで、Raptor 3の半分以下です。
メタンは軽いから、ケロシンより速く回さないといけないんだね。
そうです。そして軸を分けて、それぞれに専用のタービンを付けたのが全流量二段燃焼です。これがタービンの温度にも効いてきます。
全流量二段燃焼とタービン入口温度
ポンプを回すタービンの動力は、次の式で決まります。
\[ P = \eta_t\,\dot{m}\,c_p\,T_{in}\,\Theta \] \[ \Theta = 1-\pi_t^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}} \]
\( \dot{m} \) はタービンを通るガスの流量、\( T_{in} \) は入口温度、\( \pi_t \) は膨張比、\( \eta_t \) は効率です。
同じ動力を出すなら、流量が大きいほど、入口温度は低くて済みます。
全流量二段燃焼は、燃料も酸素も全量をタービンに通すので、流量を最大限に使えます。そこで、同じ燃焼圧を出すのに必要なタービン入口温度を、ポンプとタービンの動力のつり合いから計算しました。比較の相手は、酸素リッチのタービン1つで両方のポンプを回す方式（BE-4やRD-180の構成）です。
Raptor 3の燃焼圧330バールでは、タービン1つの方式だと約900℃（810〜990℃）が必要になりました。高温・高圧の酸素リッチガスの中では金属そのものが燃えるので、酸素リッチのタービンは約580℃（850 K）が実用上の上限で、これは成立しません。全流量なら、酸素リッチ側は約540℃（480〜600℃）、燃料リッチ側は約700℃（660〜750℃）で済みます。危険な酸素リッチ側を約360℃下げられる計算です。
実際のエンジンと並べてみます。700〜800℃級のタービンを持つRS-25やF-1と比べると、全流量の酸素側は約180〜280℃低く、燃料側はRS-25とほぼ同じ水準です。
| エンジン | サイクル | タービン入口温度 | タービンの材料 |
|---|---|---|---|
| F-1（サターンV） | ガス発生器 | 約790〜816℃（1,450〜1,500°F） | 713Cインコネル合金 |
| RS-25 燃料側（スペースシャトル） | 燃料リッチ二段燃焼 | 約721℃（994 K、出力104.5%時）。初期型は約840〜870℃ | MAR-M-246(Hf)の一方向凝固翼 → 後に単結晶PWA 1480 |
| RS-25 酸素側 | 同上 | 約466℃（739 K、出力104.5%時） | MAR-M-246(Hf)の一方向凝固翼 |
| LE-7（H-II） | 燃料リッチ二段燃焼 | 約567℃（840 K） | MAR-M247（一方向凝固）、Inconel 718 |
| LE-7A（H-IIA） | 同上 | 約467℃（740 K） | － |
| RD-180／RD-191 | 酸素リッチ二段燃焼 | 約547〜573℃（820〜846 K） | ニッケル合金＋不活性エナメルコーティング |
| Raptor 3 | 全流量二段燃焼 | 非公表（管理人の計算：酸素側 約540℃、燃料側 約700℃） | SX300／SX500（SpaceX自社開発の超合金） |
MAR-M-246やMAR-M247は、米Martin Marietta社が開発したニッケル基の鋳造超合金で、約1,000℃まで強度を保てるタービン翼の定番材料です。713C等と並んで自動車用のターボチャージャーにも使われる人気材料です。RS-25ではこれを一方向凝固させた翼を使いましたが、始動・停止の熱衝撃で翼にひびが入る問題があり、後継のターボポンプでは単結晶のPWA 1480が採用されました。単結晶材はタービン翼一枚だけで何百万円もするほど高価で、作るのも難しくなります。タービン入口温度を下げられれば、それだけ安い材料や作りやすい材料を選べます。
Raptorの酸素リッチ側は、温度が低くても圧力が約800気圧と極端に高く、マスク氏によればほとんどの金属が燃えてしまう条件です。SpaceXはこのために、SX300、SX500という超合金を自社で開発しました。
でも540℃や700℃って、1,500℃を超えるジェットエンジンのタービンより、ずっと楽に見えるけど？
ジェットエンジンのタービンは、圧縮機から抜いた空気で翼を冷やし、遮熱コーティングもかけるので、ガスが1,500℃を超えても、翼の金属は表面でも約1,100℃までに抑えています。ターボポンプのタービンは冷却に使える空気がなく無冷却で、ガスの温度がほぼそのまま金属の温度になります。
それでも金属は700℃で、1,100℃よりは低いよね？
ここで効くのが、疲労強度と温度の関係です。タービンの翼は、ノズルの後ろを通るたびにガスの力が変わるので、1秒間に何千回も繰り返し曲げられます。壊れるかどうかを決めるのは、引っ張って切れる強さではなく、この繰り返しに耐える強さです。
ターボポンプのタービンによく使われるInconel 718の場合、1億回の繰り返しに耐えられる応力は、316℃の約760 MPaから649℃の約500 MPaへと、3割以上下がります。繰り返しの力が大きいほど、合金が疲労に強い、低い温度で使う必要があります。
ターボポンプの翼は、その繰り返しの力が桁違いに大きい条件にあります。ジェットエンジンのタービン入口が数十バールなのに対して、RS-25は約220バール、Raptorは600バールを超えます。ガスが濃いぶん、翼を曲げる力の変動も、熱の伝わりやすさ（航空用の約100倍）も大きくなります。
回転も速く、RS-25の水素ターボポンプは毎分約3万7千回転です。翼は300〜460 m/sの周速で回るので、遠心力で強く引っ張られたまま、この繰り返しを受けます。実際にRS-25の燃料側タービンの翼は、疲労によるひびのために、数回の燃焼で交換されていました。
じゃあ、ジェットエンジンや発電用のガスタービンは、どうして1,100℃でも持つの？
お金と手間のかけ方が違うんです。発電用の大型ガスタービンは1基で数十億円以上する機械で、点検しながら何十年も使います。だから、単結晶の翼に細かい冷却穴をあけて遮熱コーティングをかける、といった高価な材料と加工が引き合います。
また、MarM材等は昔はポピュラーだったものの、ガスタービンはもう長年単結晶材(SX)へ変わっており、材料という観点では一日の長があります。SX300/500はSpaceXがターボポンプ向けに最適化SX材です。
| 発電用の大型ガスタービン | ロケットのターボポンプ | |
|---|---|---|
| 求められる寿命 | 数万時間（点検しながら数十年） | RS-25で27,000秒（7.5時間）、55回の飛行 |
| 価格 | 1基で数十億円以上 | Raptorはエンジン全体で目標25万ドル以下 |
| タービンの翼 | 単結晶＋内部冷却＋遮熱コーティング | 無冷却の鋳造合金 |
| タービン入口のガス圧 | 数十バール | 数百バール |
ロケットのターボポンプは求められる寿命が桁違いに短く、1基にかけられるコストも小さいので、ガスタービンのような高価な翼は使えません。だからこそ、タービン入口温度そのものを下げられる全流量二段燃焼の利点が大きくなります。
推力重量比と重力損失
ロケットが実際に得られる速度増分は、ロケット方程式の理想値から損失を引いたものです。
\[ \Delta v = I_{sp}\,g_0 \ln\frac{m_0}{m_f} – \Delta v_g – \Delta v_D \] \[ \Delta v_g = \int g\sin\gamma\,dt \]\( \Delta v_g \) が重力損失、\( \Delta v_D \) が空気抵抗による損失です。
\( \gamma \) は飛行経路角（水平からの角度）です。垂直に近い姿勢で長く燃やすほど重力損失は大きくなるので、1段目は推力重量比が大きいほど有利になります。
Super Heavy＋Shipを2次元の質点モデルで打ち上げ、エンジンの数（＝推力重量比）だけを変えて重力損失を計算しました（分離時の飛行経路角は25°にそろえています）。第2回の感度解析では「推力は今より少し小さいほうが良さそう」という結果でしたが、今回は経路をそろえて重力損失だけを取り出しているので、推力が大きいほど損失は単調に減ります。
Raptor 3×33基（推力重量比1.43）の重力損失は約1,030 m/s。BE-4並みの推力密度（推力重量比約1.15）では約1,380 m/sで、約350 m/s（310〜420）も余計に失います。これを1段目の比推力で取り返すには約45秒（40〜55秒）も必要で、メタンエンジンでは無理な話です。逆に1段目の比推力を10秒上げても、得られるのは約80 m/sだけでした。
一方、Shipは分離後ほぼ水平に飛ぶので重力損失は小さく、質量比が大きいぶん比推力がよく効きます。比推力10秒でΔVは約200 m/s（190〜205）、ペイロードにして約13 t（12〜14 t）です。Shipに大きなノズルの真空用Raptor（RVac）を積むのはこのためです。
第2回では比推力1%あたり1段目が約40 m/s、2段目が約75 m/sでした。機体の諸元と計算の条件が違うので数字はそのまま比べられませんが、2段目のほうが約2倍効くという傾向は同じです。
1段目は推力が王様、2段目は比推力が王様ってことか！
そのとおりです！Raptorは高い燃焼圧のおかげで、1段目に必要な推力密度と2段目に必要な高い比推力を、ノズルを付け替えるだけで両立しています。
※このページの値は、RocketCEA（理想平衡流）と管理人の簡易モデルによる概算です。非公表の値は前提の表のとおり仮定しており、実機の値とは異なります。
